概率论与数理统计（工）（2023年版）

本书是全国高等教育自学考试“概率论与数理统计（工）”指定教材，本次改版是根据自考办在规划课程时，重新设置了本课程的名称，进行的改版。本书内容的修订，主要根据《概率论与数理统计（工）自学考试大纲》，对例题、习题等再进行优化，对知识点的讲解再突出重点，更好地适用于参加自学考试的学生。同时将建设本教材配套的数学资源。数字资源的建设主要对教材中出现的例题和习题进行详细的讲解，再逐条分析大纲中列出的知识点，最后提供有针对性的练习。

孙洪祥 ---------------------------- 孙洪祥，教授，博士毕业于北京师范大学数学专业，现任北京邮电大学副校长。研究领域为应用数学、高等教育管理。主要社会及学术兼职：北京市第十届督学、2018-2022教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会委员。 张志刚 ---------------------------- 张志刚，北京科技大学数理学院信息与计算科学系主任，数学教学中心主任，数学学科青教赛团队负责人。1985年毕业于北京大学数学系应用数学专业。1990年研究生毕业于北京科技大学数力系应用数学专业。长期讲授概率论与数理统计、数据结构等课程。曾获宝钢优秀教师奖。

目 录 概率论与数理统计(工)自学考试大纲 大纲前言…………………………………………………………………………………………… 3 Ⅰ 课程性质与课程目标………………………………………………………………………… 5 Ⅱ 考核目标……………………………………………………………………………………… 7 Ⅲ 课程内容与考核要求………………………………………………………………………… 8 第一章 随机事件与概率…………………………………………………………………… 8 第二章 随机变量及其概率分布…………………………………………………………… 9 第三章 多维随机变量及其概率分布 …………………………………………………… 10 第四章 随机变量的数字特征 …………………………………………………………… 11 第五章 大数定律及中心极限定理 ……………………………………………………… 12 第六章 样本与统计量 …………………………………………………………………… 13 第七章 参数估计 ………………………………………………………………………… 13 第八章 假设检验 ………………………………………………………………………… 14 Ⅳ 关于大纲的说明与考核实施要求 ………………………………………………………… 16 概率论与数理统计(工)试题样卷 ……………………………………………………………… 19 概率论与数理统计(工)试题样卷答案 ………………………………………………………… 22 大纲后记 ………………………………………………………………………………………… 24 概率论与数理统计(工)(2023年版) 编写说明 ………………………………………………………………………………………… 27 第一章 随机事件与概率 ……………………………………………………………………… 29 §1 随机事件……………………………………………………………………………… 29 1.1 随机现象 …………………………………………………………………………… 29 1.2 随机试验和样本空间 ……………………………………………………………… 29 1.3 随机事件的概念 …………………………………………………………………… 30 1.4 随机事件的关系与运算 …………………………………………………………… 31 习题1.1 …………………………………………………………………………………… 34 §2 概率…………………………………………………………………………………… 35 2.1 频率与概率 ………………………………………………………………………… 35 2.2 古典概型 …………………………………………………………………………… 36 2.3 概率的定义与性质 ………………………………………………………………… 38 2 概率论与数理统计(工)(2023年版) 目 录 习题1.2 …………………………………………………………………………………… 39 §3 条件概率……………………………………………………………………………… 40 3.1 条件概率与乘法公式 ……………………………………………………………… 40 3.2 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 ………………………………………………… 42 习题1.3 …………………………………………………………………………………… 44 §4 事件的独立性………………………………………………………………………… 45 4.1 事件的独立性 ……………………………………………………………………… 45 4.2 n重伯努利(Bernoulli)试验 ………………………………………………………… 48 习题1.4 …………………………………………………………………………………… 49 小结 ………………………………………………………………………………………… 50 自测题1 …………………………………………………………………………………… 51 第二章 随机变量及其概率分布 ……………………………………………………………… 54 §1 离散型随机变量……………………………………………………………………… 54 1.1 随机变量的概念 …………………………………………………………………… 54 1.2 离散型随机变量及其分布律 ……………………………………………………… 55 1.3 0-1分布与二项分布 ……………………………………………………………… 57 1.4 泊松分布 …………………………………………………………………………… 59 习题2.1 …………………………………………………………………………………… 60 §2 随机变量的分布函数………………………………………………………………… 61 2.1 分布函数的概念 …………………………………………………………………… 61 2.2 分布函数的性质 …………………………………………………………………… 63 习题2.2 …………………………………………………………………………………… 64 §3 连续型随机变量及其概率密度……………………………………………………… 65 3.1 连续型随机变量及其概率密度 …………………………………………………… 65 3.2 均匀分布与指数分布 ……………………………………………………………… 68 3.3 正态分布 …………………………………………………………………………… 70 习题2.3 …………………………………………………………………………………… 74 §4 随机变量函数的概率分布…………………………………………………………… 75 4.1 离散型随机变量函数的概率分布 ………………………………………………… 75 4.2 连续型随机变量函数的概率分布 ………………………………………………… 77 习题2.4 …………………………………………………………………………………… 79 小结 ………………………………………………………………………………………… 80 自测题2 …………………………………………………………………………………… 80 第三章 多维随机变量及其概率分布 ………………………………………………………… 84 §1 多维随机变量的概念………………………………………………………………… 84 1.1 二维随机变量及其分布函数 ……………………………………………………… 84 1.2 二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律……………………………………… 85 1.3 二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度………………………………… 90 概率论与数理统计(工)(2023年版) 目 录 3 习题3.1 …………………………………………………………………………………… 94 §2 随机变量的独立性…………………………………………………………………… 96 2.1 两个随机变量的独立性 …………………………………………………………… 96 2.2 二维离散型随机变量的独立性 …………………………………………………… 96 2.3 二维连续型随机变量的独立性 …………………………………………………… 99 2.4 n个随机变量的相互独立 ………………………………………………………… 101 习题3.2…………………………………………………………………………………… 103 §3 两个随机变量的函数的分布 ……………………………………………………… 103 3.1 两个离散型随机变量的函数的分布 ……………………………………………… 103 3.2 两个相互独立的连续型随机变量之和的概率分布 ……………………………… 106 习题3.3…………………………………………………………………………………… 108 小结………………………………………………………………………………………… 108 自测题3…………………………………………………………………………………… 109 第四章 随机变量的数字特征………………………………………………………………… 113 §1 随机变量的数学期望 ……………………………………………………………… 113 1.1 离散型随机变量的数学期望 ……………………………………………………… 113 1.2 连续型随机变量的数学期望 ……………………………………………………… 116 1.3 二维随机变量的数学期望 ………………………………………………………… 119 1.4 数学期望的性质 ………………………………………………………………… 120 习题4.1…………………………………………………………………………………… 121 §2 方差 ………………………………………………………………………………… 122 2.1 方差的概念 ……………………………………………………………………… 122 2.2 常见随机变量的方差……………………………………………………………… 125 2.3 方差的性质 ……………………………………………………………………… 130 习题4.2…………………………………………………………………………………… 133 §3 协方差与相关系数 ………………………………………………………………… 134 3.1 协方差 …………………………………………………………………………… 134 3.2 相关系数 ………………………………………………………………………… 136 3.3 矩、协方差矩阵 …………………………………………………………………… 141 习题4.3…………………………………………………………………………………… 142 小结………………………………………………………………………………………… 143 自测题4…………………………………………………………………………………… 143 第五章 大数定律与中心极限定理…………………………………………………………… 148 §1 切比雪夫(Chebyshev)不等式 …………………………………………………… 148 习题5.1…………………………………………………………………………………… 150 §2 大数定律 …………………………………………………………………………… 150 2.1 伯努利大数定律 ………………………………………………………………… 150 2.2 独立同分布的随机变量序列的切比雪夫大数定律 ……………………………… 151 4 概率论与数理统计(工)(2023年版) 目 录 §3 中心极限定理 ……………………………………………………………………… 152 3.1 独立同分布序列的中心极限定理 ………………………………………………… 152 3.2 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 ………………………………………………… 154 习题5.3…………………………………………………………………………………… 157 小结………………………………………………………………………………………… 157 自测题5…………………………………………………………………………………… 158 第六章 统计量及其抽样分布………………………………………………………………… 160 §1 引言 ………………………………………………………………………………… 160 §2 总体与样本 ………………………………………………………………………… 160 2.1 总体与个体 ……………………………………………………………………… 160 2.2 样本 ……………………………………………………………………………… 161 §3 统计量及其分布 …………………………………………………………………… 163 3.1 统计量与抽样分布………………………………………………………………… 163 3.2 经验分布函数 …………………………………………………………………… 163 3.3 样本均值及其抽样分布…………………………………………………………… 164 3.4 样本方差与样本标准差…………………………………………………………… 165 3.5 样本矩及其函数 ………………………………………………………………… 167 3.6 极大顺序统计量和极小顺序统计量 ……………………………………………… 167 3.7 正态总体的抽样分布……………………………………………………………… 167 习题6.3…………………………………………………………………………………… 173 小结………………………………………………………………………………………… 174 自测题6…………………………………………………………………………………… 174 第七章 参数估计……………………………………………………………………………… 176 §1 点估计的几种方法 ………………………………………………………………… 176 1.1 替换原理和矩法估计……………………………………………………………… 176 1.2 极大似然估计 …………………………………………………………………… 178 习题7.1…………………………………………………………………………………… 182 §2 点估计的评价标准 ………………………………………………………………… 183 2.1 相合性 …………………………………………………………………………… 183 2.2 无偏性 …………………………………………………………………………… 184 2.3 有效性 …………………………………………………………………………… 185 习题7.2………………………………………………………………………………… 185 §3 参数的区间估计 …………………………………………………………………… 185 3.1 置信区间的概念 ………………………………………………………………… 186 3.2 单个正态总体参数的置信区间 …………………………………………………… 187 习题7.3…………………………………………………………………………………… 191 小结………………………………………………………………………………………… 192 自测题7…………………………………………………………………………………… 192 概率论与数理统计(工)(2023年版) 目 录 5 第八章 假设检验……………………………………………………………………………… 193 §1 假设检验的基本思想和概念 ……………………………………………………… 193 1.1 基本思想 ………………………………………………………………………… 193 1.2 统计假设的概念 ………………………………………………………………… 194 1.3 两类错误 ………………………………………………………………………… 195 1.4 假设检验的基本步骤……………………………………………………………… 196 习题8.1…………………………………………………………………………………… 197 §2 正态总体均值的假设检验 ………………………………………………………… 197 2.1 u检验……………………………………………………………………………… 197 2.2 t检验 ……………………………………………………………………………… 198 习题8.2…………………………………………………………………………………… 201 §3 正态总体方差的假设检验 ………………………………………………………… 202 3.1 χ2检验 …………………………………………………………………………… 202 习题8.3…………………………………………………………………………………… 204 小结………………………………………………………………………………………… 204 自测题8…………………………………………………………………………………… 205 附表1 标准正态分布表 ……………………………………………………………………… 206 附表2 泊松分布表 …………………………………………………………………………… 207 附表3 t分布表 ……………………………………………………………………………… 209 附表4 χ2分布表 ……………………………………………………………………………… 211 附表5 F 分布表 ……………………………………………………………………………… 214 习题解答或提示………………………………………………………………………………… 222 参考文献………………………………………………………………………………………… 233 后记……………………………………………………………………………………………… 234