最优传输理论与计算(精)

最优传输理论是一门古 老而又年轻、直观而又深刻 、连续而又离散、基础而又 应用的学科，将概率统计、 微分几何、流体力学和非线 性偏微分方程融为一体，和 谐优美，深邃有力。Monge 在250年前提出了最优传输 问题，Kantorovich给出部 分解答从而获得1972年度 的诺贝尔经济学奖。丘成桐 先生从微分几何角度为这一 理论做出杰出贡献了，而 Villani、Figalli等数学家因为 在这一领域的研究获得菲尔 兹奖。 近来人工智能再度兴起 ，大数据、深度学习技术在 工程、医疗等领域取得了巨 大成功，最优传输理论作为 人工智能技术的理论基础之 一进入中心舞台，广泛应用 于深度学习、计算机视觉、 计算机图形学、计算机辅助 几何设计、数字几何处理、 计算机网络、计算力学以及 医学影像等领域中。 本书以高等数学的基本 概念为基础，以现代理论为 目的，有机组织庞大丰富的 知识体系，贯穿诸多数学分 支，横跨数学和计算机科学 ，同时满足数学家和工程师 的迫切需求。本书可供高等 院校数学、计算机等各相关 专业的广大师生参考，亦可 供人工智能、计算机视觉、 医学影像、互联网开发、动 漫动画、建筑设计等领域的 工程师和专业人士参考。

雷娜，大连理工大学软件学院教授，博士生导师，北京市成像技术高精尖创新中心兼职研究员；中国工业与应用数学学会几何设计与计算专业委员会委员；中国数学会计算机数学专业委员会委员；美国数学会 Mathematical Review评论员；清华大学数学科学中心访问教授；纽约州立大学石溪分校计算机系访问教授；德克萨斯大学奥斯汀分校计算工程与科学研究所research fellow；中科院数学与系统科学研究院访问学者。主要研究兴趣是应用现代微分几何和代数几何的理论与方法解决工程及医学领域的问题，聚焦于计算共形几何、计算拓扑、符号计算及其在计算机图形学、计算机视觉、几何建模和医学图像中的应用。

第一部分 最优传输的对偶理论 第一章 Monge-Kantorovich理论 1.1 凸函数的Alexandrov理论 1.1.1 次微分 1.1.2 Legendre-Fenchel变换 1.1.3 Alexandrov定理 1.2 Monge问题与Kantorovich问题 1.2.1 空间、弱收敛和连续性 1.2.2 M(x)和Q(x)间的对偶 1.2.3 紧空间上连续代价函数的Kantorovich问题 1.2.4 紧空间下半连续代价函数的Kantorovich问题 1.2.5 Polish空间下半连续代价函数Kantorovich问题的解 第二章 对偶理论 2.1 对偶问题 2.1.1 广义Lagrange乘子法 2.1.2 连续函数空间的紧致性 2.1.3 c-变换 2.2 Kantorovich问题和对偶问题的等价性 2.2.1 循环单调性 2.2.2 连续代价函数(KP)与(DP)的等价性 2.2.3 下半连续代价函数(KP)与(DP)的等价眭 第三章 Brenier理论 3.1 Brenier问题 3.1.1 严格凸的代价函数 3.1.2 欧氏距离平方代价函数 3.1.3 最优性条件 3.1.4 稳定性条件 3.2 Brenier极分解 3.2.1 实矩阵的极分解 3.2.2 向量场的Hodge.Helmholtz分解 3.2.3 Brenier极分解 第二部分 凸几何理论 第四章 Minkowski-Alexandrov凸几何理论 4.1 Brunn-Minkowski不等式 4.2 等周不等式 4.3 Alexandrov映射引理 4.4 Minkowski问题Ⅰ 4.5 Minkowski问题Ⅱ 4.6 Alexandrov定理 第五章 半离散最优传输的变分原理 5.1 变分法原则 5.2 Legendre-Fenchel对偶 5.3 Alexandrov定理证明的推广 5.4 Pogorelov定理的证明 第三部分 球面最优传输 第六章 球面power图理论 6.1 曲面微分几何基本概念 6.2 球面微分几何 6.3 球面power图 第七章 Minkowski Ⅰ问题