高等数学竞赛题解析教程(2021)

本书依据全国大学生数 学竞赛大纲与江苏省普通高 等学校高等数学竞赛大纲， 并参照制定的考研数 学考试大纲编写而成，内容 分为极限与连续、一元函数 微分学、一元函数积分学、 多元函数微分学、二重积分 与三重积分、曲线积分与曲 面积分、空间解析几何、级 数、微分方程等九个专题， 每个专题含“基本概念与内 容提要”“竞赛题与精选题解 析”与“练习题”三个部分。 其中，竞赛题选自全国大学 生数学竞赛试题(非数学专 业组)，江苏省、北京市、 浙江省、广东省等省市大学 生数学竞赛试题，南京大学 、东南大学、清华大学等高 校高等数学竞赛试题，莫斯 科大学等国外高校大学生数 学竞赛试题；另外，从近几 年全国硕士研究生入学考试 试题中也挑选了一些“好题” ，作为本书的有力补充。这 些题目中既含基本题，又含 很多构思巧妙、解题技巧性 强，具有较高水平和较大难 度的创新题，本书逐条解析 ，深入分析，并总结解题方 法与技巧。 本书可作为准备高等数 学竞赛的老师和学生的培优 教程，也可作为各类高等学 校的大学生学习高等数学和 考研的辅导教程，特别有益 于成绩优秀的大学生提高高 等数学水平。

专题1 极限与连续 1.1 基本概念与内容提要 1.1.1 一元函数基本概念 1.1.2 数列的极限 1.1.3 函数的极限 1.1.4 证明数列或函数极限存在的方法 1.1.5 无穷小量 1.1.6 无穷大量 1.1.7 求数列或函数的极限的方法 1.1.8 函数的连续性 1.2 竞赛题与精选题解析 1.2.1 求函数的表达式(例1.1—1.3) 1.2.2 利用极限的性质与四则运算求极限(例1.4—1.13) 1.2.3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限(例1.14—1.18) 1.2.4 利用重要极限与等价无穷小替换求极限(例1.19—1.26) 1.2.5 无穷小比较与无穷大比较(例1.27—1.28) 1.2.6 连续性与间断点(例1.29—1.31) 1.2.7 利用介值定理的证明题(例1.32—1.36) 练习题一 专题2 一元函数微分学 2.1 基本概念与内容提要 2.1.1 导数的定义 2.1.2 左、右导数的定义 2.1.3 微分概念 2.1.4 基本初等函数的导数公式 2.1.5 求导法则 2.1.6 高阶导数 2.1.7 微分中值定理 2.1.8 泰勒公式与马克劳林公式 2.1.9 洛必达法则 2.1.10 导数在几何上的应用 2.2 竞赛题与精选题解析 2.2.1 利用导数的定义解题(例2.1—2.6) 2.2.2 利用求导法则解题(例2.7—2.8) 2.2.3 求高阶导数(例2.9—2.18) 2.2.4 与微分中值定理有关的证明题(例2.19—2.40) 2.2.5 马克劳林公式与泰勒公式的应用(例2.41—2.59) 2.2.6 利用洛必达法则求极限(例2.60—2.68) 2.2.7 导数的应用(例2.69—2.81) 2.2.8 不等式的证明(例2.82—2.92) 练习题二 专题3 一元函数积分学 3.1 基本概念与内容提要 3.1.1 不定积分基本概念 3.1.2 基本积分公式 3.1.3 不定积分的计算 3.1.4 定积分基本概念 3.1.5 定积分中值定理 3.1.6 变限的定积分 3.1.7 定积分的计算 3.1.8 奇偶函数与周期函数定积分的性质 3.1.9 定积分在几何与物理上的应用 3.1.10 反常积分 3.2 竞赛题与精选题解析 3.2.1 求不定积分(例3.1—3.16) 3.2.2 利用定积分的定义与性质求极限(例3.17—3.23) 3.2.3 应用积分中值定理解题(例3.24—3.26) 3.2.4 变限的定积分的应用(例3.27—3.34) 3.2.5 定积分的计算(例3.35—3.54) 3.2.6 定积分在几何与物理上的应用(例3.55—3.65) 3.2.7 积分不等式的证明(例3.66—3.86) 3.2.8 积分等式的证明(例3.87—3.91) 3.2.9 反常积分(例3.92—3.98) 练习题三 专题4 多元函数微分学 4.1 基本概念与内容提要 4.1.1 二元函数的极限与连续性 4.1.2 偏导数与全微分 4.1.3 多元复合函数与隐函数的偏导数 4.1.4 方向导数 4.1.5 高阶偏导数 4.1.6 二元函数的极值 4.1.7 条件极值 4.1.8 多元函数的最值 4.2 竞赛题与精选题解析 4.2.1 求二元函数的极限(例4.1—4.2) 4.2.2 二元函数的连续性、可偏导性与可微性(例4.3—4.5) 4.2.3 求多元复合函数与隐函数的偏导数(例4.6—4.16) 4.2.4 方向导数(例4.17—4.19) 4.2.5 求高阶偏导数(例4.20—4.27) 4.2.6 求二元函数的极值(例4.28—4.31) 4.2.7 求条件极值(例4.32—4.35) 4.2.8 求多元函数在空间区域上的最值(例4.36—4.38) 练习题四 专题5 二重积分与三重积分 5.1 基本概念与内容提要 5.1.1 二重积分基本概念 5.1.2 二重积分的计算 5.1.3 交换二次积分的次序 5.1.4 三重积分基本概念 5.1.5 三重积分的计算 5.1.6 重积分的应用 5.1.7 反常重积分 5.2 竞赛题与精选题解析 5.2.1 二重积分与二次积分的计算(例5.1—5.14) 5.2.2 交换二次积分的次序(例5.15—5.19) 5.2.3 三重积分的计算(例5.20—5.25) 5.2.4 与重积分有关的不等式的证明(例5.26—5.31) 5.2.5 重积分的应用题(例5.32—5.35) 5.2.6 反常重积分的计算(例5.36—5.38) 练习题五 专题6 曲线积分与曲面积分 6.1 基本概念与内容提要 6.1.1 曲线积分基本概念与计算 6.1.2 格林公式 6.1.3 曲面积分基本概念与计算 6.1.4 斯托克斯公式 6.1.5 高斯公式 6.1.6 梯度、散度与旋度 6.2 竞赛题与精选题解析 6.2.1 曲线积分的计算(例6.1—6.4) 6.2.2 应用格林公式解题(例6.5—6.16) 6.2.3 曲面积分的计算(例6.17—6.22) 6.2.4 应用斯托克斯公式解题(例6.23—6.25) 6.2.5 应用高斯公式解题(例6.26—6.35) 6.2.6 线面积分的应用题(例6.36—6.38) 练习题六 专题7 空间解析几何 7.1 基本概念与内容提要 7.1.1 向量的基本概念与向量的运算 7.1.2 空间的平面 7.1.