线性代数（慕课版 第2版）

本书是根据高等学校非数学类专业“线性代数”课程的教学要求和教学大纲，将新工科理念与国际化深度融合，结合山东大学数学团队多年的教学经验，并借鉴国内外优秀教材的特点编写完成.全书共6章，主要内容包括行列式、矩阵、向量与向量空间、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型.每章最后有对应知识的MATLAB实例和核心知识点的思维导图.本书秉承“新工科”建设理念，侧重数学实用性并配套完备的数字化教学资源.每节习题和每章总复习题采用分层模式，其中总复习题提高篇题目均选编自历年考研真题. 本书可供高等学校非数学类专业使用，也可作为报考硕士研究生的读者和科技工作者学习线性代数的参考书.

山东大学数学学院教授，泰山学堂主讲教师，山东数学会高等数学专业委员会主任,全国大学生数学竞赛山东赛区负责人，全国微课程比赛山东赛区副主任兼秘书长,中学生英才计划导师,中国大学先修课程《微积分》特聘教授。作为主要成员完成国家科学基金及山东省自然科学基金项目6项，主持或参与省部级教学研究项目5项；。在《J.Comput.Anal.Applications》、《系统科学与数学》、《物理学报》、《工程数学学报》等杂志发表学术论文50余篇；在科学出版社、高等教育出版社、清华大学出版社等出版社出版高等学校数学教科书、参考教材和专著50余部，参与编写的《微积分》入选国家十二五规划教材。曾获“山东省优秀青年知识分子”“山东省中青年学术骨干、学科带头人”“全国大学生数学竞赛优秀指导教师”“泰山学堂毕业生最喜欢的老师”““英才计划优秀指导教师”“优秀科技创新导师”等称号。

目　录 01 第1　章 行列式..............1 1.1　行列式的基本概念 . ................　1 1.1.1　二阶、三阶行列式.................　1 1.1.2　排列及其逆序数....................4 1.1.3　n 阶行列式...........................5 同步习题1.1...................................8 1.2　行列式的性质及其应用 . ..........9 1.2.1　行列式的性质.......................9 1.2.2　行列式性质的简单应用.......　13 同步习题1.2.................................　15 1.3　行列式的典型计算方法 .........　16 1.3.1　上（下）三角形法 ..............　16 1.3.2　降阶法...............................　17 1.3.3　升阶法...............................　19 1.3.4　拆分法..............................　21 1.3.5　递推法...............................22 同步习题1.3.................................24 1.4　克拉默法则 ........................25 同步习题1.4.................................29 1.5　运用MATLAB 计算行列式....30 1.5.1　MATLAB 简介...................30 1.5.2　用MATLAB 计算行列式....　31 第1　章思维导图...........................32 第1　章总复习题·基础篇...............33 第1　章总复习题·提高篇...............35 第2　章 矩阵.............　38 2.1　矩阵的基本概念 ..................38 2.1.1　引例..................................38 2.1.2　矩阵的定义........................39 2.1.3　几种特殊矩阵.....................40 同步习题2.1.................................42 2.2　矩阵的运算 .......................42 2.2.1　矩阵的线性运算.................43 2.2.2　线性变换与矩阵乘法..........44 2.2.3　矩阵的转置........................49 2.2.4　方阵的行列式....................　51 2.2.5　伴随矩阵...........................52 同步习题2.2................................52 2.3　初等变换与初等矩阵 ............53 2.3.1　矩阵的初等变换.................54 2.3.2　初等矩阵...........................55 同步习题2.3................................58 2.4　逆矩阵..............................59 2.4.1　逆矩阵的定义.....................59 2.4.2　矩阵可逆的充分必要 条件..................................　61 2.4.3　矩阵之间的等价关系..........62 2.4.4　解矩阵方程.......................65 同步习题2.4................................67 目　录 02 2　线性代数（慕课版 第2版） 2.5　矩阵的秩...........................68 2.5.1　矩阵的秩的定义.................68 2.5.2　矩阵的秩的性质.................69 2.5.3　矩阵的秩的相关结论..........　71 同步习题2.5................................72 2.6　分块矩阵 ..........................73 2.6.1　分块矩阵的定义.................74 2.6.2　分块矩阵的运算.................74 2.6.3　分块对角矩阵....................76 同步习题2.6................................79 2.7　运用MATLAB 进行矩阵 运算　................................80 2.7.1　矩阵的加法........................80 2.7.2　矩阵的乘法、数乘、幂.......　81 2.7.3　求矩阵的转置矩阵..............　81 2.7.4　求矩阵的逆矩阵.................　81 2.7.5　求矩阵的行最简形矩阵.......82 第2　章思维导图..........................83 第2　章总复习题·基础篇...............84 第2　章总复习题·提高篇...............86 03 第3　章 向量与向量 空间.............　89 3.1　n 维向量及其线性运算 ..........89 3.1.1　n 维向量的定义..................89 3.1.2　n 维向量的线性运算...........90 同步习题3.1.................................　91 3.2　向量组的线性关系................　91 3.2.1　向量组的线性组合..............92 3.2.2　向量组的等价....................93 3.2.3　线性组合的经济学应用.......94 3.2.4　向量组线性相关性的定义....94 3.2.5　向量组线性相关性的性质....95 3.2.6　向量组线性相关性的判定....97 同步习题3.2................................99 3.3　极大线性无关组和秩............101 3.3.1　向量组的极大线性无关组和 秩的定义.........................　101 3.3.2　向量组的秩和矩阵的秩的 关系................................　102 同步习题3.3..............................104 3.4　向量空间 ........................　105 3.4.1　向量空间的定义...............　105 3.4.2　过渡矩阵与坐标变换........　106 同步习题3.4..............................108 3.5　向量的内积 .....................　109 3.5.1　向量的内积的定义............109 3.5.2　向量组的正交规范化........　110 3.5.3　正交矩阵.........................　112 同步习题3.5..............................　112 3.6　运用MATLAB 解决向量 问题　...............................113 3.6.1　判断向量组的线性 相关性............................　113 3.6.2　求极大无关组..................　113 3.6.3　将向量组正交规范化........　114 第3　章思维导图.........................115 第3　章总复习题·基础篇..............116 第3　章总复习题·提高篇..............117 04 第4　章 线性方程组....　120 4.1　齐次线性方程组.................　120 4.1.1　引例................................　120 4.1.2　齐次线性方程组解的 性质................................　121 4.1.3　齐次线性方程组的 基础解系.........................　121 同步习题4.1...............................　125 4.2　非齐次线性方程组..............　127 4.2.1　非齐次线性方程组的基本 概念................................　127 4.2.2　非齐次线性方程组解的 性质................................　128 4.2.3　非齐次线性方程组的 解法................................　128 同步习题4.2..............................　133 4.3　线性方程组的应用..............　135 4.3.1　向量组与线性方程组.........　135 4.3.2　利用线性方程组解的理论 求解线性方程组...............　137 4.3.3　矩阵方程与线性方程组.....138 4.3.4　同解与公共解..................140 4.3.5　线性方程组的应用............142 同步习题4.3..............................　145 4.4　运用MATLAB 求解线性 方程组............................　147 4.4.1　求解齐次线性方程组.........　147 4.4.2　求解非齐次线性方程组.....　147 第4　章思维导图........................　149 第4　章总复习题·基础篇.............　150 第4　章总复习题·提高篇..............151 05 第5　章 矩阵的特征值与 特征向量......　154 5.1　特征值与特征向量..............　154 5.1.1　特征值与特征向量的 定义................................　154 5.1.2　特征值与特征向量的 性质................................　157 同步习题5.1...............................　160 5.2　相似矩阵..........................161 5.2.1　相似矩阵的定义及性质.....　161 5.2.2　方阵的相似对角化............　163 同步习题5.2..............................　166 5.3　实对称矩阵及其正交相似 对角化　............................　168 5.3.1　实对称矩阵的特征值与 特征向量.........................　168 5.3.2　实对称矩阵的正交相似 对角化............................　168 同步习题5.3..............................　173 4　线性代数（慕课版 第2版） 5.4　运用MATLAB 求解矩阵 问题...............................　174 5.4.1　求特征值与特征向量.........　174 5.4.2　矩阵相似对角化的判断.....　175 第5　章思维导图........................　177 第5　章总复习题·基础篇.............　178 第5　章总复习题·提高篇.............　179 06 第6　章 二次型.........　182 6.1　二次型及其矩阵表示............　182 6.1.1　二次型的定义...................　182 6.1.2　二次型及其矩阵...............183 同步习题6.1...............................　185 6.2　二次型的标准形.................　185 6.2.1　利用正交变换法化二次型为 标准形............................　185 6.2.2　利用配方法化二次型为 标准形............................189 同步习题6.2..............................190 6.3　正定二次型.......................　190 6.3.1　正定二次型的定义............190 6.3.2　赫尔维茨定理..................　191 同步习题6.3..............................193 6.4　用MATLAB 进行二次型的 运算...............................　193 6.4.1　化二次型为标准形............193 6.4.2　正定二次型的判定............194 第6　章思维导图........................　194 第6　章总复习题·基础篇.............　195 第6　章总复习题·提高篇.............　196 附录 附录1　线性代数中的数学建模.....　199 附录2　全国大学生数学竞赛线性代数 题目选编......................203