数系：代数和分析导引(影印版)

本书对数学的五种基本数系，即自然数、整数 、有理数、实数和复数，进行了严谨而明晰的介绍 。许多数学家认为：这是任何数学专业的学生、特 别是未来的数学教师都应该学习的科目。 本书从Peano算术的发展讲起，它包含了数学 归纳法和递归理论的要素；进而继续考察整数，其 中涵盖了环和有序整环；关于有理数的介绍包括有 序域和这些域中序列收敛的相关材料；之后建立了 实数域的Cauchy和Dedekind完备性，以及实连续 函数的一些性质；代数基本定理的初等证明是复数 这一章的最高点。本书的最大亮点在于每章末尾都 有丰富的习题，这些习题旨在协助教师授课并增强 学生的学习体验。 本书适合对代数和分析的基础感兴趣的本科生 、研究生以及数学研究人员阅读参考。

Preface Chapter 1.Natural Numbers 1.1.Peano Systems 1.2.Addition 1.3.Multiplication 1.4.Order 1.5.Isomorphism of Peano Systems 1.6.A Set-Theoretic Model 1.7.Recursion 1.8.Mathematical Induction 1.9.Algebraic Structures Notes Exercises Chapter 2.Integers 2.1.Definition of the Integers 2.2.Addition of Integers 2.3.Multiplication of Integers 2.4.Order 2.5.Rings and Integral Domains Notes Exercises Chapter 3.Rational Numbers 3.1.Definition of Rational Numbers 3.2.Addition of Rational Numbers 3.3.Multiplication of Rational Numbers 3.4.Order 3.5.Algebraic Structures on Q 3.6.Convergence in an Ordered Field 3.7.Limitations of Q Notes Exercises Chapter 4.Real Numbers 4.1.Definition of Real Numbers 4.2.Operations on R 4.3.R as a Field 4.4.R as an Ordered Field 4.5.Cauchy Completeness of R 4.6.Dedekind Completeness of R 4.7.Continuous Functions on R Notes Exercises Chapter 5.Complex Numbers 5.1.Definition of Complex Numbers 5.2.The Field C of Complex Numbers 5.3.C as a Vector Space 5.4.C as a Normed Algebra 5.5.Convergence in C 5.6.Roots of Complex Numbers 5.7.Continuous functions 5.8.The Fundamental Theorem of Algebra