群论彩图版/图解直观数学译丛

本书旨在帮助读者看到群、 认识群、 验证群， 从而理解群的实质。 本书通过大量的图像和直观解释来介绍群论。 本书的主要内容有： 群是什么、 群看起来像什么、 为什么学习群、 群的代数定义、 五个群族、 子群、 积与商、 同态的力量、 西罗定理、 伽罗瓦理论。 每章*后一节为习题， 书后附有部分习题答案。 本书适合抽象代数 （ 近世代数） 课程的学生和教师， 也适合那些首次接触群论并需要在较短时间内理解群论的读者。

致谢 前言 概述 1 第 1 章 群是什么 2 1. 1 一个有名的玩具 2 1. 2 观察魔方 3 1. 3 关于对称性的研究 3 1. 4 群的法则 4 1. 5 习题 5 1. 5. 1 满足法则的情形 5 1. 5. 2 关于法则的一些结论 6 1. 5. 3 不满足法则的情形 6 1. 5. 4 数字群 7 第 2 章 群看起来像什么? 8 2. 1 绘图 8 2. 2 一个不那么有名的玩具 10 2. 3 绘制群图 11 2. 4 凯莱图 13 2. 5 初识抽象群 14 2. 6 习题 17 2. 6. 1 基础知识 17 2. 6. 2 绘图 17 2. 6. 3 回顾 18 2. 6. 4 法则 18 2. 6. 5 图形 18 第 3 章 为什么学习群? 20 3. 1 对称群 20 3. 1. 1 分子的形状 22 3. 1. 2 晶体学 23 3. 1. 3 艺术与建筑 24 3. 2 作用群 27 3. 2. 1 舞蹈 27 3. 2. 2 多项式的根 28 3. 3 群无处不在 29 3. 4 习题 30 3. 4. 1 基础知识 30 3. 4. 2 分子的对称性 30 3. 4. 3 重复模式 31 3. 4. 4 舞蹈 32 第 4 章 群的代数定义 33 4. 1 作用都去哪儿了? 33 4. 2 组合, 组合, 组合 35 4. 3 乘法表 36 4. 4 经典定义 38 4. 4. 1 结合律 39 4. 4. 2 逆元素 40 4. 4. 3 群的经典定义 40 4. 4. 4 过去, 现在, 未来 41 . 5 习题 41 4. 5. 1 基础知识 41 4. 5. 2 创建乘法表 42 4. 5. 3 伪乘法表 43 4. 5. 4 低阶群 45 4. 5. 5 表的模式 46 4. 5. 6 代数 46 第 5 章 五个群族 49 5. 1 循环群 49 5. 1. 1 旋转体 49 5. 1. 2 乘法表和模加法 50 5. 1. 3 轨道 52 5. 1. 4 循环图 53 5. 2 阿贝尔群 53 5. 2. 1 凯莱图中的非交换性 54 5. 2. 2 交换乘法表 55 5. 2. 3 错综复杂的循环图 56 5. 3 二面体群 58 5. 3. 1 翻转与旋转 58 5. 3. 2 D n 的凯莱图 59 5. 3. 3 D n 的乘法表 60 5. 3. 4 第 7 章的一点预告 60 5. 3. 5 D n 的循环图 60 5. 4 对称群与交错群 62 5. 4. 1 置换 62 5. 4. 2 置换群 62 5. 4. 3 柏拉图立体 64 5. 4. 4 凯莱定理 66 5. 4. 5 小结 69 5. 5 习题 69 5. 5. 1 基础知识 69 5. 5. 2 理解群族 70 5. 5. 3 小成员 71 5. 5. 4 提高篇 72 5. 5. 5 拓展篇 73 5. 5. 6 凯莱定理 75 第 6 章 子群 77 6. 1 关于凯莱图, 乘法表 说了什么? 77 6. 1. 1 完善我们的非正式定义 78 6. 2 看见子群 79 6. 3 显露子群 80 6. 4 陪集 81 6. 5 拉格朗日定理 84 6. 6 习题 86 6. 6. 1 基础知识 86 6. 6. 2 理解子群 87 6. 6. 3 哈斯图 89 6. 6. 4 重组可视化图 89 6. 6. 5 寻找例子 90 第 7 章 积与商 92 7. 1 直积 92 7. 1. 1 可视地构造直积 93 7. 1. 2 更多直积的例子 95 7. 1. 3 为什么做直积? 96 7. 1. 4 代数观点 99 7. 2 半直积 102 7. 3 正规子群与商 105 7. 4 正规化子 110 7. 5 共轭 114 7. 6 习题 117 Ⅶ 7. 6. 1 直积 117 7. 6. 2 半直积 119 7. 6. 3 商 119 7. 6. 4 正规化子 120 7. 6. 5 共轭 121 第 8 章 同态的力量 123 8. 1 嵌入和商映射 123 8. 1. 1 嵌入 127 8. 1. 2 商映射 128 8. 2 同态基本定理 131 8. 3 模运算 133 8. 4 直积与互素 136 8. 5 阿贝尔群基本定理 139 8. 6 再访半直积 140 8. 7 习题 142 8. 7. 1 基础知识 142 8. 7. 2 同态 143 8. 7. 3 嵌入 143 8. 7. 4 商映射 144 8. 7. 5 阿贝尔化 144 8. 7. 6 模运算 145 8. 7. 7 互素 145 8. 7. 8 半直积 146 8. 7. 9 同构 147 8. 7. 10 有限交换群 149 第 9 章 西罗定理 152 9. 1 群作用 153 9. 2 走向西罗: 柯西定理 157 9. 2. 1 6 阶群的分类 161 9. 3 p - 群 162 9. 4 西罗定理 165 9. 4. 1 第一西罗定理: p - 子群的 存在性 165 9. 4. 2 8 阶群的分类 168 9. 4. 3 第二西罗定理: p - 子群间的 关系 170 9. 4. 4 第三西罗定理: p - 子群的 个数 172 9. 4. 5 15 阶群的分类 173 9. 5 习题 174 9. 5. 1 基础知识 174 9. 5. 2 群作用和作用图 174 9. 5. 3 论证 174 9. 5. 4 西罗 p - 子群 175 9. 5. 5 给定阶群的分类 175 第 10 章 伽罗瓦理论 177 10. 1 大问题 177 10. 2 更多大问题 180 10. 3 域扩张的可视化 182 10. 4 不可约多项式 185 10. 5 伽罗瓦群 187 10. 5. 1 一个小的域扩张: Q Q (槡2) 187 10. 5. 2 Q Q (槡2) 的对称性 188 10. 5. 3 域扩张的对称性 189 10. 5. 4 Q Q (槡2, 槡3) 的对称性 191 10. 5. 5 Q Q (槡3 2) 的对称性 193 10. 6 伽罗瓦理论的核心 195 10. 7 不可解 198 10. 7. 1 一个不可解群 198 10. 7. 2 一个不可解多项式 200 10. 7. 3 结论 202 10. 8 习题 202 10. 8. 1 基础知识 202 10. 8. 2 域和扩张 204 10. 8. 3 多项式和可解性 207 10. 8. 4 有限域 208 部分习题答案 209 符号索引 229 参考文献 231