泛函分析讲义(第二版)（上）

本书是两册泛函分析教材中的上册，系统地介绍了线性泛函分析的基础知识。全书共分四章：度量空间、线性算子与线性泛函、紧算子与Fredholm算子，以及广义函数与Sobolev空间。本书的主要特点是侧重于分析若干基本概念和重要理论的来源和背景，强调培养读者运用泛函方法解决问题的能力，注意介绍泛函分析理论与数学其他分支的联系。书中包含丰富的例子与应用，对于掌握基础理论有很大帮助。 本书第二版对内容做了一定调整，如加强了对于弱收敛的介绍，将原来的紧算子与Fredholm算子一章提前等，并优化了部分证明，以更好地适应教学与科研的新形势。 本书适于用作数学专业本科生与研究生的教材，且可供其他理工科专业师生，以及数学、物理领域科研人员和工程技术人员参考。 为帮助读者更好地掌握泛函分析的基本内容以及解题的思路与方法，本书有配套的学习辅导书《泛函分析学习指南》（北京大学出版社），供读者选用。

北京大学数学院教授，1959年毕业于北京大学数学力学系，曾在美、英、法、德、意大利、瑞士、加拿大等国作研究访问。1991年当选为中国科学院数学物理学部院士，1994年当选为第三世界科学院院士。

第一章度量空间 1 压缩映射原理 2 完备化 3 列紧集 4 赋范线性空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach 空间 4.4 赋范线性空间上的范数等价 4.5 应用：最佳逼近问题 4.6 有穷维B¤ 空间的刻画 4.7 商空间 5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer 与Schauder 不动点定理 5.3 应用 6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert 空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题 6.5 应用：最小二乘法 第二章线性算子与线性泛函 1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2 线性算子的连续性和有界性 2 Riesz 表示定理及其应用 3 纲与开映射定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映射定理 3.3 闭图像定理 3.4 共鸣定理 3.5 应用 4 Hahn-Banach 定理 4.1 线性泛函的延拓定理 4.2 几何形式|| 凸集分离定理 4.3 应用 5 共轭空间、弱收敛、自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用 5.2 共轭算子 5.3 弱收敛及¤ 弱收敛 5.4 弱列紧性与¤ 弱列紧性 5.5¤ 弱收敛的例子 6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Gelfand 定理 6.3 例子 第三章紧算子与Fredholm 算子 1 紧算子的定义和基本性质 2 Riesz-Fredholm 理论 3 紧算子的谱理论 3.1 紧算子的谱 3.2 不变子空间 3.3¤ 紧算子的结构 4 Hilbert-Schmidt 定理 5 对椭圆型方程的应用 6 Fredholm 算子 第四章广义函数与Sobolev 空间 1 广义函数的概念 1.1 基本空间D(-) 1.2 广义函数的定义和基本性质 1.3 广义函数的收敛性 2 B0 空间 3 广义函数的运算 3.1 广义微商 3.2 广义函数的乘法 3.3 平移算子与反射算子 4 S0 上的Fourier 变换 5 Sobolev 空间与嵌入定理 习题补充提示 索引