数学分析中的典型问题与方法(第3版)

本书是为正在学习数 学分析（微积分）的学生 、准备报考研究生的读者 以及从事这方面教学工作 的教师编写的参考书籍。 本书自1993年首次出版 以来，历经25年，一直得 到读者的热情赞赏和推崇 。 本书的中心内容是全 面、系统地回答：数学分 析到底有哪些基本问题？ 每类问题有哪些基本方法 ？每种方法有哪些最具代 表性的题目？书中收录了 传统典型习题和大量特色 研究生入学统一考试试题 ，它们有相当难度，能检 验读者的真实水平。 本书的宗旨是讨论解 题的思想方法。为此，对 每种方法先以“要点”的形 式作概述，再选取典型而 有相当难度的例题，逐层 剖析，分类讲解；然后通 过反复训练，让读者从变 化中领会不变的东西，达 到“授人以渔”的目的。 此外，对现行教材中 比较薄弱、读者十分关心 的部分内容，如上（下） 极限、函数方程、凸函数 、不等式、等度连续、第 二积分中值定理、多项式 逼近等，本书将它们列为 专题，配以部分高校研究 生入学统一考试数学分析 试题进行讲解和练习。为 开拓读者的视野，此次修 订还在第三章和第四章添 加了广义导数和定积分定 义的简化等内容。 本书内容较多，题目 按难易程度分为五个档次 ，标记“☆”部分为作者特 别推荐内容（约占总题量 1／3），标记“new”部分 为本次修订新加的题，也 是热点题。读者可根据自 己实际情况，酌情选读。

第一章 一元函数极限 1.1 预备 一、几点注释 a.关于反函数b.关于奇函数和偶函数c.关于周期函数 二、几个常用的不等式 三、Wallis公式 单元练习1.1 1.2 用定义证明极限的存在性 一、用定义证明极限 a.ε-N方法b.拟合法c.用邻域描述极限 二、用Cauchy准则证明极限 三、否定形式及“□（特殊字符）”和“□（特殊字符）”的使用法则 四、利用单调有界原理证明极限存在 五、数列与子列、函数与数列的极限关系 六、极限的运算性质 单元练习1.2 1.3 求极限值的若干方法 一、利用等价代换和初等变形求极限 a.等价代换b.利用初等变形求极限 二、利用已知极限 三、利用变量替换求极限 四、两边夹法则 五、两边夹法则的推广形式 六、求极限其他常用方法 a.L'Hospital法则b.利用Taylor公式求极限c.利用积分定义求极限d.利用级数求解极限问题e.利用连续性求极限f.综合性例题 单元练习1.3 1.4 Stolz公式 一、数列的情况 二、函数极限的情况 单元练习1.4 1.5 递推形式的极限 一、利用存在性求极限 二、写出通项求极限 三、替换与变形 四、图解法 五、不动点方法的推广 六、Stolz公式的应用 七、递推极限的直接法 单元练习1.5 1.6 序列的上、下极限 一、利用ε-N语言描述上、下极限 二、利用子列的极限描述上、下极限 三、利用确界的极限描述上、下极限 四、利用上、下极限研究序列的极限 五、上、下极限的运算性质 单元练习1.6 1.7 函数的上、下极限 一、函数上、下极限的定义及等价描述 二、单侧上、下极限 三、函数上、下极限的不等式 单元练习1.7 1.8 实数及其基本定理. 一、实数的引入 二、实数基本定理 单元练习1.8 第二章 一元函数的连续性 2.1 连续性的证明与应用 一、连续性的证明 二、连续性的应用 单元练习2.1 2.2 一致连续性 一、利用一致连续的定义及其否定形式证题 二、一致连续与连续的关系 …… 第二章 一元函数的连续性 第三章 一元微分学 第四章 一元函数积分学 第五章 级数 第六章 多元函数微分学 第七章 多元积分学