实分析(原书第4版)/华章数学译丛

本书是一部实分析方面的经典教材，主要分三部分，第壹部分为经典的实变函数论和经典的巴拿赫空间理论；第二部分为抽象空间理论，主要介绍分析中有用的拓扑空间以及近代巴拿赫空间理论；第三部分为一般的测度和积分论，即在第二部分理论基础上将经典的测度、积分论推广到一般情形。.

译者序 前言 第一部分　一元实变量函数的Lebesgue积分 第0章　集合、映射与关系的预备知识2 　0.1　集合的并与交2 　0.2　集合间的映射3 　0.3　等价关系、选择公理以及Zorn引理3 第1章　实数集：集合、序列与函数6 　1.1　域、正性以及完备性公理6 　1.2　自然数与有理数9 　1.3　可数集与不可数集11 　1.4　实数的开集、闭集和Borel集13 　1.5　实数序列17 　1.6　实变量的连续实值函数21 第2章　Lebesgue测度25 　2.1　引言25 　2.2　Lebesgue外测度26 　2.3　Lebesgue可测集的σ代数29 　2.4　Lebesgue可测集的外逼近和内逼近33 　2.5　可数可加性、连续性以及Borel-Cantelli引理36 　2.6　不可测集39 　2.7　Cantor集和Cantor-Lebesgue函数41 第3章　Lebesgue可测函数45 　3.1　和、积与复合45 　3.2　序列的逐点极限与简单逼近49 　3.3　Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理53 第4章　Lebesgue积分56 　4.1　Riemann积分56 　4.2　有限测度集上的有界可测函数的Lebesgue积分58 　4.3　非负可测函数的Lebesgue积分65 　4.4　一般的Lebesgue积分71 　4.5　积分的可数可加性与连续性75 　4.6　一致可积性：Vitali收敛定理77 第5章　Lebesgue积分：深入课题81 　5.1　一致可积性和紧性：一般的Vitali收敛定理81 　5.2　依测度收敛83 　5.3　Riemann可积与Lebesgue可积的刻画85 第6章　微分与积分89 　6.1　单调函数的连续性89 　6.2　单调函数的可微性：Lebesgue定理91 　6.3　有界变差函数：Jordan定理96 　6.4　绝对连续函数99 　6.5　导数的积分：微分不定积分103 　6.6　凸函数108 第7章　Lp空间：完备性与逼近112 　7.1　赋范线性空间112 　7.2　Young、Hlder与Minkowski不等式115 　7.3　Lp是完备的：Riesz-Fischer定理119 　7.4　逼近与可分性124 第8章　Lp空间：对偶与弱收敛128 　8.1　关于Lp（1≤p＜∞）的对偶的Riesz表示定理128 　8.2　Lp中的弱序列收敛134 　8.3　弱序列紧性141 　8.4　凸泛函的最小化144 第二部分　抽象空间：度量空间、拓扑空间、Banach空间和Hilbert空间 第9章　度量空间：一般性质152 　9.1　度量空间的例子152 　9.2　开集、闭集以及收敛序列155 　9.3　度量空间之间的连续映射158 　9.4　完备度量空间160 　9.5　紧度量空间164 　9.6　可分度量空间169 第10章　度量空间：三个基本定理171 　10.1　Arzel-Ascoli定理171 　10.2　Baire范畴定理175 　10.3　Banach压缩原理178 第11章　拓扑空间：一般性质183 　11.1　开集、闭集、基和子基183 　11.2　分离性质186 　11.3　可数性与可分性188 　11.4　拓扑空间之间的连续映射189 　11.5　紧拓扑空间192 　11.6　连通的拓扑空间195 第12章　拓扑空间：三个基本定理197 　12.1　Urysohn引理和Tietze延拓定理197 　12.2　Tychonoff乘积定理201 　12.3　Stone-Weierstrass定理204 第13章　Banach空间之间的连续线性算子209 　13.1　赋范线性空间209 　13.2　线性算子211 　13.3　紧性丧失：无穷维赋范线性空间214 　13.4　开映射与闭图像定理217 　13.5　一致有界原理222 第14章　赋范线性空间的对偶224 　14.1　线性泛函、有界线性泛函以及弱拓扑224 　14.2　Hahn-Banach定理229 　14.3　自反Banach空间与弱序列收敛性234 　14.4　局部凸拓扑向量空间237 　14.5　凸集的分离与Ｍazur定理240 　14.6　Krein-Milman定理244 第15章　重新得到紧性：弱拓扑247 　15.1　Helly定理的Alaoglu推广247 　15.2　自反性与弱紧性：Kakutani定理249 　15.3　紧性与弱序列紧性：Eberlein-mulian定理250 　15.4　弱拓扑的度量化252 第16章　Hilbert空间上的连续线性算子255 　16.1　内积和正交性255 　16.2　对偶空间和弱序列收敛259 　16.3　Bessel不等式与规范正交基261 　16.4　线性算子的伴随与对称性264 　16.5　紧算子268 　16.6　Hilbert-Schmidt定理270 　16.7　Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻画273 第三部分　测度与积分：一般理论 第17章　一般测度空间：性质与构造280 　17.1　测度与可测集280 　17.2　带号测度：Hahn与Jordan分解284 　17.3　外测度诱导的Carathéodory测度288 　17.4　外测度的构造291 　17.5　将预测度延拓为测度：Carathéodory-Hahn定理293 第18章　一般测度空间上的积分299 　18.1　可测函数299 　18.2　非负可测函数的积分304 　18.3　一般可测函数的积分310 　18.4　Radon-Nikodym定理317 　18.5　Nikodym度量空间：Vitali-Hahn-Saks定理323 第19章　一般的Lp空间：完备性、对偶性和弱收敛性328 　19.1　Lp(X,μ)（１≤ｐ≤∞）的完备性328 　19.2　关于Lp(X,μ)（1≤ｐ<∞）的对偶的Riesz表示定理333 　19.3　关于L∞(X,μ)的对偶的Kantorovitch表示定理336 　19.4　Lp(X,μ)（１＜ｐ＜∞）的弱序列紧性339 　19.5　L1(X,μ)的弱序列紧性：Dunford-Pettis定理341 第20章　特定测度的构造346 　20.1　乘积测度：Fubini与Tonelli定理346 　20.2　欧氏空间Rn上的Ｌebesgue测度354 　20.3　累积分布函数与Borel测度364 　20.4　度量空间上的Carathéodory外测度与Hausdorff测度367 第21章　测度与拓扑372 　21.1　局部紧拓扑空间372 　21.2　集合分离与函数延拓376 　21.3　Radon测度的构造378 　21.4　Cc(X)上的正线性泛函的表示：Riesz-Markov定理381 　21.5　C（X）的对偶的表示：Riesz-Kakutani表示定理385 　21.6　Baire测度的正则性391 第22章　不变测度397 　22.1　拓扑群：一般线性群397 　22.2　Kakutani不动点定理399 　22.3　紧群上的不变Borel测度：von Neumann定理403 　22.4　测度保持变换与遍历性：Bogoliubov-Krilov定理406 参考文献412 索引414