从矢量到张量(细说矢量与矢量分析张量与张量分析)/高等数学启蒙小丛书

本书共分六个部分，二 十个章节，是论述矢量和张 量及其应用的一本入门读物 。 在第一部分中，我们从 矢量的代数运算讲起，详述 了矢量的矢量混合积和矢量 三重积。在第二部分中，我 们引入矢量三重系，且从它 们之间的变换，很自然地引 入了张量的概念，讨论了张 量的基本运算，并由此论述 了笛卡儿张量和闵可夫斯基 空间中的张量。在第三部分 中，先讲解变矢量的微分运 算，再介绍其应用，详细论 述空间曲线理论；最后，介 绍场论中的主要内容：梯度 、散度和旋度。在第四部分 中，我们讨论了矢量场的线 积分与面积分，以及有关的 重要定理：散度定理、斯托 克斯定理、格林定理等。在 第五部分中，我们从曲线坐 标入手，讨论了曲线坐标下 的张量，以及张量场的协变 微分等一些重要的概念和理 论。在第六部分中，研究了 黎曼空间，黎曼空间中的张 量，以及爱因斯坦张量与爱 因斯坦引力场方程等理论与 应用。 本书还有十二个附录， 它们是正文的补充或扩展， 使得本书的数学内容臻于完 备。 本书起点低，叙述详尽 ，论证严格，例子丰富，又 前后呼应，是一本统一叙述 矢量和张量，及其应用的深 入浅出、可读性较强的读物 ，供读者学习矢量与张量理 论时阅读参考。

第一部分 矢量代数理论 第一章 数、矢量和矢量的加法与数乘运算 §1.1 数与数域 §1.2 矢量及其表示 §1.3 矢量的加法与减法 §1.4 矢量的数乘运算 §1.5 应用：欧拉线 第二章 矢量构成向量空间 §2.1 向量空间 §2.2 向量的线性相关与无关 §2.3 向量空间的基 §2.4 矢量：二维平面，三维空间，以及矢量的分解 §2.5 坐标系与同构 §2.6 直角坐标系 §2.7 右手系与左手系 第三章 矢量的内积和矢量积 §3.1 矢量内积的定义 §3.2 内积与射影 §3.3 矢量的内积满足分配律 §3.4 用坐标来计算矢量的内积 §3.5 矢量的矢量积 §3.6 矢量积的分配律以及矢量积的坐标表达式 §3.7 二类矢量 第四章 矢量的矢量混合积和矢量三重积 §4.1 三个矢量的矢量混合积及其几何意义 §4.2 矢量的矢量混合积的坐标计算公式 §4.3 矢量的矢量混合积的一些性质 §4.4 计算[A B C]^2 §4.5 矢量混合积给出的几何和代数关系 §4.6 矢量的矢量三重积 §4.7 应用：球面三角形的正弦定理 第二部分 矢量三重系，矢量三重系的变换和张量，以及笛卡儿张量与4维张量 第五章 矢量三重系 §5.1 矢量三重系和爱因斯坦求和规约 §5.2 度规gij §5.3 度规矩阵及其行列式 §5.4 (gij)的逆矩阵(g^ij) §5.5 三重系e1，e2，e3的对偶系e^1，e^2，P^3 §5.6 三重系与其对偶系之间的一些代数关系 §5.7 三重系与其对偶系之间的一个几何关系 §5.8 矢量在三重系及其对偶系下的分量 第六章 三重系之间的变换 §6.1 三重系之间的变换以及相应的对偶系之间的变换 §6.2 矢量的逆变分量的变换方式 §6.3 矢量的协变分量的变换方式 §6.4 对偶系之间的变换 …… 第三部分 数量场的梯度，矢量场的散度与旋度 第四部分 矢量场的线积分和面积分 第五部分 曲线坐标和协变微分 第六部分 黎曼空间中的张量 附录 参考文献